Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen

I.Quadratwurzelgleichungen

Gleichungen, in denen Quadratwurzelterme vorkommen, nennt man Quadratwurzelgleichungen

Beispiele:

a) b)

Aufgabe 1: Bestimme zunächst die Definitionsmenge der einzelnen Wurzelterme und anschließend die Definitionsmenge beider Gleichungen in der Grundmenge IR.

Beachte

In den Eingabefeldern gilt:

ist definiert, wenn

also gilt: }

 
ist definiert, wenn

also gilt:

 

ist definiert, wenn

beide Terme definiert sind, also gilt

} 

ist definiert, wenn

 

also gilt: }

 

ist immer definiert,

also gilt:

 

ist definiert, wenn

beide Terme definiert sind, also gilt } 

Aufgabe 2: Beide Gleichungen haben die Form

Bestimme zunächst für beide Gleichungen und

Quadriere dann die Gleichungen, bilde also die neue Gleichung

 

a)

 

also

Beide Wurzelgleichungen gehen also durch Quadrieren über in quadratische Gleichungen.

 

Aufgabe 3: Löse die erhaltenen quadratischen Gleichungen und prüfe, 

ob die Lösung in der Definitionsmenge der jeweiligen Quadratwurzelgleichung enthalten ist.

  a)

= 0

= 0

also x = \/ x =

  b)

= 0

)

  = 

also x = \/ x =

Aufgabe 4: Mache die Probe, d.h., setze die Lösungen von Aufgabe 3 in die jeweiligen Quadratwurzelgleichungen an die Stelle von x ein, prüfe, ob die erhaltene Aussage wahr (w) oder falsch (f) ist und bestimme so die Lösungsmenge. Was stellst du fest?

a)

 

 x = => ) = : ()

 x =  => ) = ) : ()

L = { }

b)

x = => = )

x =  => ) =   : ()

L = { }

Folgerung: Die Probe ist bei Quadratwurzelgleichungen unbedingt erforderlich, 

da durch das Quadrieren Werte hinzukommen können, die gar keine Lösung 

der Quadratwurzelgleichung sind.  

Beispiel:

 

Die Lösungsmenge der Gleichung   hat genau ein Element, es gilt

 

Quadrieren wir diese Gleichung, so ergibt sich die neue Gleichung . 

Die Lösungsmenge dieser Gleichung hat aber 2 Elemente, es gilt

 

L = { }

 

Deswegen dürfen nach dem Quadrieren keine Äquivalenzpfeile, sondern nur Folgerungspfeile gesetzt werden.

 

ist eine richtige Aussage, aber  ist eine falsche Aussage, da 2 Aussageformen 

nur dann äquivalent sind, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

So löst du eine Quadratwurzelgleichung:

 

  1. Bestimme die Definitionsmenge!
  2. Quadriere die Quadratwurzelgleichung!
  3. Ermittle die Lösungsmenge der neuen Aussageform (Vergleich mit der Definitionsmenge)!
  4. Kontrolliere durch Einsetzen, ob die Lösungen der neuen Aussageform auch Lösungen der Quadratwurzelgleichung sind und bestimme so die Lösungsmenge der Quadratwurzelgleichung.